5. Катет прямоугольного треугольника равен 9 см, а гипотенуза и второй катет относятся как 5: 4. Найдите площадь этого треугольника

Известен катет прямоугольного треугольника, равный 9 см. Гипотенуза и второй катет относятся как 5:4. Нужно найти площадь этого треугольника.

Пусть гипотенуза равна 5x, а второй катет равен 4x. По теореме Пифагора:

$$(4x)^2 + 9^2 = (5x)^2$$

$$16x^2 + 81 = 25x^2$$

$$9x^2 = 81$$

$$x^2 = \frac{81}{9} = 9$$

$$x = \sqrt{9} = 3$$

Тогда второй катет равен: 4x = 4 * 3 = 12 см, гипотенуза 5x = 5 * 3 = 15 см.

Площадь прямоугольного треугольника: S = (1/2) * a * b, где a и b - катеты.

$$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 108 = 54 \text{ см}^2$$

Ответ: 54 см²