12. Докажите третий признак равенства треугольников.

Третий признак равенства треугольников гласит: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

1. Даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых AB = A₁B₁, BC = B₁C₁ и AC = A₁C₁.
2. Наложим треугольник ABC на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы сторона AB совместилась со стороной A₁B₁, вершина A совпала с вершиной A₁, а вершина B совпала с вершиной B₁.
3. Тогда, так как AC = A₁C₁ и BC = B₁C₁, точки C и C₁ должны быть равноудалены от точек A₁ и B₁.
4. Возможны два случая: либо точки C и C₁ совпадают, либо они симметричны относительно прямой A₁B₁. Если они симметричны, то треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

Ответ: Третий признак равенства треугольников доказан.