1. Докажите первый признак равенства треугольников. Какие ак- сиомы используются при доказательстве теоремы 3.1?

Для доказательства первого признака равенства треугольников используются аксиомы о равенстве треугольников, такие как аксиома о равенстве соответственных сторон и углов. Также теорема 3.1, скорее всего, относится к предыдущим теоремам или леммам, используемым при доказательстве.

Первый признак равенства треугольников гласит: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

1. Предположим, даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и ∠A = ∠A₁.
2. Наложим треугольник ABC на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, сторона AB наложилась на сторону A₁B₁, а сторона AC наложилась на сторону A₁C₁.
3. Тогда, так как AB = A₁B₁, то вершина B совпадёт с вершиной B₁. Аналогично, так как AC = A₁C₁, то вершина C совпадёт с вершиной C₁.
4. Следовательно, сторона BC совпадёт со стороной B₁C₁, так как через две точки можно провести только одну прямую.
5. Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ полностью совпадают и, следовательно, равны.

Аксиомы:

1. Аксиома о равенстве соответственных сторон: Если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника соответственно, то такие стороны соответственны.
2. Аксиома о равенстве соответственных углов: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника соответственно, то такие углы соответственны.

Ответ: Первый признак равенства треугольников доказан, аксиомы перечислены.