Билет №6 1. Три признака подобия треугольников. Доказательство одного из

Решение:

1. Первый признак подобия (по двум углам): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Второй признак подобия (по двум сторонам и углу между ними): Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
3. Третий признак подобия (по трем сторонам): Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
4. Доказательство первого признака подобия: Пусть \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) таковы, что \( \angle A = \angle A_1 \) и \( \angle B = \angle B_1 \).
• Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то \( \angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B \) и \( \angle C_1 = 180^{\circ} - \angle A_1 - \angle B_1 \).
• Поскольку \( \angle A = \angle A_1 \) и \( \angle B = \angle B_1 \), то \( \angle C = \angle C_1 \).
• Таким образом, все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника.
• Согласно теореме о равенстве углов треугольника (которая тесно связана с подобием), если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то и третьи углы равны. Это условие является достаточным для подобия треугольников.
• Для строгого доказательства подобия (не только равенства углов), можно воспользоваться построением: отложим на сторонах \( AB \) и \( AC \) отрезки \( AB_1 \) и \( AC_1 \) так, чтобы \( AB_1 = k · A_1B_1 \) и \( AC_1 = k · A_1C_1 \), где \( k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} \) (если \( \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} \)). Соединим точки \( B_1 \) и \( C_1 \). Тогда \( \triangle AB_1C_1 \) подобен \( \triangle ABC \) по второму признаку. Так как \( \angle AB_1C_1 = \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 \), то \( \angle AB_1C_1 = \angle A_1B_1C_1 \). Если \( \angle A = \angle A_1 \) и \( \angle B = \angle B_1 \), то \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \) по первому признаку.

Ответ: Перечислены три признака подобия треугольников, приведено доказательство первого признака.