Билет №1 Итоговый зачет по курсу геометрии 8 класса.

Билет №1

1. Признаки параллелограмма. Доказательство одного из них.
   Теорема: Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
   Доказательство: Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором диагонали AC и BD пересекаются в точке O так, что AO = OC и BO = OD.
   Рассмотрим треугольники AOB и COD. У них:
   1. AO = OC (по условию).
   2. BO = OD (по условию).
   3. \(\angle AOB = \angle COD\) (как вертикальные углы).
   Следовательно, \(\triangle AOB = \triangle COD\) по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).
   Из равенства треугольников следует, что \(\angle BAC = \angle ACD\) (как накрест лежащие углы при пересечении прямых AB и CD секущей AC).
   Так как \(\angle BAC = \angle ACD\), то прямые AB и CD параллельны (признак параллельности прямых).
   Аналогично, рассмотрим треугольники BOC и DOA. У них:
   1. BO = OD (по условию).
   2. CO = AO (по условию).
   3. \(\angle BOC = \angle DOA\) (как вертикальные углы).
   Следовательно, \(\triangle BOC = \triangle DOA\) по двум сторонам и углу между ними.
   Из равенства треугольников следует, что \(\angle BCA = \angle DAC\) (как накрест лежащие углы при пересечении прямых BC и AD секущей AC).
   Так как \(\angle BCA = \angle DAC\), то прямые BC и AD параллельны.
   Так как AB || CD и BC || AD, то четырехугольник ABCD — параллелограмм по определению.
   Вывод: Доказано, что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
2. Доказать теорему об отрезках пересекающихся хорд.
   Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
   Доказательство: Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке P. Нам нужно доказать, что AP · PB = CP · PD.
   Рассмотрим треугольники APC и DPB.
   1. \(\angle PAC = \angle BDC\) (как вписанные углы, опирающиеся на дугу BC).
   2. \(\angle PCA = \angle DBA\) (как вписанные углы, опирающиеся на дугу AD).
   3. \(\angle APC = \angle DPB\) (как вертикальные углы).
   Следовательно, \(\triangle APC \sim \triangle DPB\) по двум углам (по второму признаку подобия треугольников).
   Из подобия треугольников следует:
   \(\frac{AP}{DP} = \frac{CP}{BP}\).
   Перемножив крест-накрест, получаем:
   AP · PB = CP · DP.
   Вывод: Теорема доказана.