Билет №2 2. Центральные и вписанные углы свойства вписанных углов

Решение:

1. Центральный угол: Угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны пересекают окружность. Величина центрального угла равна величине дуги, на которую он опирается. \( \angle AOC = \text{дуга } AC \).
2. Вписанный угол: Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
3. Свойства вписанных углов:
   • Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается. \( \angle ABC = \frac{1}{2} \text{дуга } AC \).
   • Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
   • Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90° (прямой угол).
4. Доказательство (теорема о вписанном угле): Пусть O — центр окружности, \( \angle ABC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AC.
• Случай 1: Одна из сторон угла (например, BC) проходит через центр окружности O (т.е. AC — диаметр). Тогда \( \angle AOC = 180^{\circ} \) (развернутый угол). \( \triangle AOB \) — равнобедренный (OA = OB — радиусы). \( \angle OAB = \angle OBA \). \( \angle AOC = \angle OAB + \angle OBA = 2 \angle OBA \). Следовательно, \( \angle OBA = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} 180^{\circ} = 90^{\circ} \).
• Случай 2: Центр окружности O лежит на одной из сторон угла (например, на BC). Аналогично Случаю 1, \( \angle OBA = \frac{1}{2} \angle AOC \).
• Случай 3: Центр окружности O лежит внутри угла. Проведем через O луч BO. Угол \( \angle ABC = \angle ABO + \angle OBC \). По Случаю 2, \( \angle ABO = \frac{1}{2} \text{дуга } AO \) и \( \angle OBC = \frac{1}{2} \text{дуга } OC \). Тогда \( \angle ABC = \frac{1}{2} \text{дуга } AO + \frac{1}{2} \text{дуга } OC = \frac{1}{2} (\text{дуга } AO + \text{дуга } OC) = \frac{1}{2} \text{дуга } AC \).

Ответ: Даны определения центрального и вписанного углов, а также свойства и доказательство теоремы о вписанном угле.