Билет №5 1. Определение прямоугольника. Свойства его диагоналей. Доказательство

Решение:

1. Определение прямоугольника: Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые.
2. Свойства диагоналей прямоугольника:
   • Диагонали равны.
   • Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
3. Доказательство: Рассмотрим прямоугольник ABCD.
• Равенство диагоналей: Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle DCB \).
• \( AB = DC \) (противоположные стороны прямоугольника).
• \( BC = CB \) (общая сторона).
• \( \angle ABC = \angle DCB = 90^{\circ} \) (углы прямоугольника).
• Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle DCB \) по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
• Из равенства треугольников следует, что \( AC = DB \) (диагонали равны).
• Деление пополам: Так как диагонали равны (\( AC = DB \)) и точка их пересечения (пусть это будет O) делит каждую диагональ на два отрезка, то \( AO = OC = \frac{1}{2} AC \) и \( DO = OB = \frac{1}{2} DB \). Поскольку \( AC = DB \), то \( AO = OC = DO = OB \). Это означает, что точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ пополам.

Ответ: Даны определение прямоугольника, свойства его диагоналей и их доказательства.