Б5. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна стороне основания. Найдите площадь сечения пирамиды, проведенного через середину высоты параллельно основанию, если апофема пирамиды 10 см.

Решение:

Пусть сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна \( a \). Высота пирамиды \( H \) равна стороне основания, то есть \( H = a \).

Апофема \( l = 10 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( H \), апофемой \( l \) и половиной стороны основания \( \frac{a}{2} \) (это верно, если вершина, центр основания и середина стороны основания образуют этот треугольник).

По теореме Пифагора:

\[ l^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]

Подставим \( H = a \):

\[ 10^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]\[ 100 = a^2 + \frac{a^2}{4} \]\[ 100 = \frac{5a^2}{4} \]\[ a^2 = \frac{400}{5} = 80 \]

Тогда \( H = a = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \) см.

Сечение, проведенное через середину высоты параллельно основанию, является квадратом. Отношение сторон этого сечения к основанию равно отношению высоты от вершины до сечения к общей высоте пирамиды. Если сечение проходит через середину высоты, то коэффициент подобия \( k = \frac{1}{2} \).

Сторона сечения \( a_{сеч} = k · a = \frac{1}{2} a \).

Площадь сечения \( S_{сеч} = (a_{сеч})^2 = \left(\frac{1}{2} a\right)^2 = \frac{1}{4} a^2 \).

Так как \( a^2 = 80 \), то:

\[ S_{сеч} = \frac{1}{4} \cdot 80 = 20 \] см².

Ответ: 20 см².