Б1. Решите уравнение: 4sin 2x = (1/16)^(2 cos(π-x)).

Решение:

Перепишем уравнение:

\[ 4 \sin(2x) = \left(\frac{1}{16}\right)^{2 \cos(\pi - x)} \]

Используем свойства тригонометрии и степеней:

\[ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \]\[ \cos(\pi - x) = -\cos(x) \]\[ \left(\frac{1}{16}\right)^{2 \cos(\pi - x)} = \left(2^{-4}\right)^{-2 \cos(x)} = 2^{8 \cos(x)} \]

Уравнение принимает вид:

\[ 4 (2 \sin(x) \cos(x)) = 2^{8 \cos(x)} \]\[ 2^2 \cdot 2 \sin(x) \cos(x) = 2^{8 \cos(x)} \]\[ 2^3 \sin(x) \cos(x) = 2^{8 \cos(x)} \]

Это уравнение сложно решить аналитически. Возможна опечатка в условии, например, если бы было \( \sin(2x) = \frac{1}{16} \) или \( 4 \sin(2x) = 2 \cos(\pi - x) \).

Если предположить, что возможно, уравнение упрощается при \( \cos(x) = 0 \), что означает \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \).

Если \( \cos(x) = 0 \), то \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) = 0 \). Левая часть равна \( 4 · 0 = 0 \).

Правая часть: \( \left(\frac{1}{16}\right)^{2 \cos(\pi - x)} = \left(\frac{1}{16}\right)^{2 \cdot 0} = \left(\frac{1}{16}\right)^0 = 1 \).

\( 0 = 1 \) — неверно. Значит, \( \cos(x) \neq 0 \).

Рассмотрим случай, когда \( \cos(x) = 1 \). Тогда \( x = 2 \pi k \).

Левая часть: \( 4 \sin(0) = 0 \).

Правая часть: \( \left(\frac{1}{16}\right)^{2 \cdot 1} = \left(\frac{1}{16}\right)^2 = \frac{1}{256} \).

\( 0 = \frac{1}{256} \) — неверно.

Рассмотрим случай, когда \( \cos(x) = -1 \). Тогда \( x = \pi + 2 \pi k \).

Левая часть: \( 4 \sin(2\pi) = 0 \).

Правая часть: \( \left(\frac{1}{16}\right)^{2 \cdot (-1)} = \left(\frac{1}{16}\right)^{-2} = 16^2 = 256 \).

\( 0 = 256 \) — неверно.

Возможно, в условии есть опечатка. Если предположить, что \( 4 \sin(2x) = 2 \cos(\pi-x) \):

\[ 4 (2 \sin(x) \cos(x)) = 2 (-\cos(x)) \]\[ 8 \sin(x) \cos(x) = -2 \cos(x) \]\[ 8 \sin(x) \cos(x) + 2 \cos(x) = 0 \]\[ 2 \cos(x) (4 \sin(x) + 1) = 0 \]

\( \cos(x) = 0 \) или \( 4 \sin(x) + 1 = 0 \).

1. \( \cos(x) = 0 \) \( \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \).

2. \( 4 \sin(x) = -1 \) \( \Rightarrow \sin(x) = -\frac{1}{4} \). \( x = \arcsin\left(-\frac{1}{4}\right) + 2 \pi n \) или \( x = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{4}\right) + 2 \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).

Примечание: В исходном виде уравнение не имеет простых аналитических решений, что может указывать на опечатку в условии. Представлено решение для одной из возможных интерпретаций.

Ответ: зависит от точного условия.