Б4. Решите систему уравнений: {log14 (6x + 2y) - log14 (3) = -2, log3 (15x) - log3(y) = 2.

Решение:

Рассмотрим первое уравнение:

\[ \log_{14}(6x + 2y) - \log_{14}(3) = -2 \]\[ \log_{14}\left(\frac{6x + 2y}{3}\right) = -2 \]

По определению логарифма:

\[ \frac{6x + 2y}{3} = 14^{-2} \]\[ \frac{6x + 2y}{3} = \frac{1}{196} \]\[ 6x + 2y = \frac{3}{196} \]

Рассмотрим второе уравнение:

\[ \log_3(15x) - \log_3(y) = 2 \]\[ \log_3\left(\frac{15x}{y}\right) = 2 \]

По определению логарифма:

\[ \frac{15x}{y} = 3^2 \]\[ \frac{15x}{y} = 9 \]\[ 15x = 9y \]\[ y = \frac{15x}{9} = \frac{5x}{3} \]

Подставим \( y = \frac{5x}{3} \) в первое уравнение:

\[ 6x + 2\left(\frac{5x}{3}\right) = \frac{3}{196} \]\[ 6x + \frac{10x}{3} = \frac{3}{196} \]\[ \frac{18x + 10x}{3} = \frac{3}{196} \]\[ \frac{28x}{3} = \frac{3}{196} \]\[ x = \frac{3}{196} \cdot \frac{3}{28} = \frac{9}{5488} \]

Теперь найдём \( y \):

\[ y = \frac{5}{3} x = \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{5488} = \frac{5 \cdot 3}{5488} = \frac{15}{5488} \]

Проверка ОДЗ для логарифмов:

\( 6x + 2y = \frac{3}{196} > 0 \) (верно).

\( 15x = \frac{9}{5488} > 0 \) (верно).

\( y = \frac{15}{5488} > 0 \) (верно).

Ответ: \( x = \frac{9}{5488}, y = \frac{15}{5488} \).