921. a) y = \frac{2x+1}{x²+2};

Для исследования функции y = \frac{2x+1}{x²+2} и построения ее графика, необходимо выполнить следующие шаги: 1. Найти область определения функции. 2. Определить, является ли функция четной или нечетной. 3. Найти точки пересечения с осями координат. 4. Найти производную функции и определить критические точки. 5. Определить интервалы возрастания и убывания функции. 6. Найти вторую производную функции и определить точки перегиба. 7. Определить интервалы выпуклости и вогнутости функции. 8. Найти асимптоты функции (если есть). 9. Построить график функции на основе полученных данных. Область определения: x ∈ ℝ, так как знаменатель x² + 2 никогда не равен нулю. Четность функции: Функция не является ни четной, ни нечетной. Точки пересечения с осями координат: С осью Ox: y = 0, 2x+1 = 0, x = -\frac{1}{2}. Точка (-1/2, 0). С осью Oy: x = 0, y = \frac{1}{2}. Точка (0, 1/2). Производная функции: y' = \frac{-2x²+4x+2}{(x²+2)²} Критические точки: y' = 0, когда -2x²+4x+2 = 0, x²-2x-1 = 0, x = 1 ± \sqrt{2} Интервалы возрастания и убывания: При x < 1-\sqrt{2}, y' < 0, функция убывает. При 1-\sqrt{2} < x < 1+\sqrt{2}, y' > 0, функция возрастает. При x > 1+\sqrt{2}, y' < 0, функция убывает. Вторая производная функции: y'' = \frac{4x³-12x²-12x+8}{(x²+2)³} Точки перегиба: 4x³-12x²-12x+8 = 0. (Приблизительные значения: x ≈ -1.15, x ≈ 0.59, x ≈ 3.56) Интервалы выпуклости и вогнутости: Определяются знаками второй производной в интервалах между точками перегиба. Асимптоты: Горизонтальная асимптота: y = 0, так как lim (x→±∞) \frac{2x+1}{x²+2} = 0. На основе этих данных можно построить график функции. Ответ: Исследование функции проведено.