918. a) y = \frac{1}{x²+1};

Для исследования функции y = \frac{1}{x²+1} и построения ее графика, необходимо выполнить следующие шаги: 1. Найти область определения функции. 2. Определить, является ли функция четной или нечетной. 3. Найти точки пересечения с осями координат. 4. Найти производную функции и определить критические точки. 5. Определить интервалы возрастания и убывания функции. 6. Найти вторую производную функции и определить точки перегиба. 7. Определить интервалы выпуклости и вогнутости функции. 8. Найти асимптоты функции (если есть). 9. Построить график функции на основе полученных данных. Область определения: x ∈ ℝ, так как знаменатель x² + 1 никогда не равен нулю. Четность функции: y(-x) = \frac{1}{(-x)²+1} = \frac{1}{x²+1} = y(x). Следовательно, функция четная. Точки пересечения с осями координат: С осью Ox: y = 0, но \frac{1}{x²+1} ≠ 0, следовательно, нет пересечений с осью Ox. С осью Oy: x = 0, y = \frac{1}{0²+1} = 1. Точка (0, 1). Производная функции: y' = -\frac{2x}{(x²+1)²} Критические точки: y' = 0, когда -2x = 0, то есть x = 0. Интервалы возрастания и убывания: При x < 0, y' > 0, функция возрастает. При x > 0, y' < 0, функция убывает. Вторая производная функции: y'' = \frac{6x²-2}{(x²+1)³} Точки перегиба: y'' = 0, когда 6x² - 2 = 0, то есть x = ±\frac{1}{\sqrt{3}} Интервалы выпуклости и вогнутости: При x < -\frac{1}{\sqrt{3}}, y'' > 0, функция выпукла вверх. При -\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}}, y'' < 0, функция вогнута вниз. При x > \frac{1}{\sqrt{3}}, y'' > 0, функция выпукла вверх. Асимптоты: Горизонтальная асимптота: y = 0, так как lim (x→±∞) \frac{1}{x²+1} = 0. Вертикальных асимптот нет. На основе этих данных можно построить график функции. Ответ: Исследование функции проведено.