920. a) y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x};

Для исследования функции y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x} и построения ее графика, необходимо выполнить следующие шаги: 1. Найти область определения функции. 2. Определить, является ли функция четной или нечетной. 3. Найти точки пересечения с осями координат. 4. Найти производную функции и определить критические точки. 5. Определить интервалы возрастания и убывания функции. 6. Найти вторую производную функции и определить точки перегиба. 7. Определить интервалы выпуклости и вогнутости функции. 8. Найти асимптоты функции (если есть). 9. Построить график функции на основе полученных данных. Область определения: x ≠ 0, так как знаменатель не может быть равен нулю. Четность функции: y(-x) = \frac{-x}{2} + \frac{2}{-x} = -\frac{x}{2} - \frac{2}{x} = -(\frac{x}{2} + \frac{2}{x}) = -y(x). Следовательно, функция нечетная. Точки пересечения с осями координат: С осью Ox: y = 0, \frac{x}{2} + \frac{2}{x} = 0, \frac{x² + 4}{2x} = 0, x² + 4 = 0, нет вещественных корней, следовательно, нет пересечений с осью Ox. С осью Oy: x = 0, но x ≠ 0, следовательно, нет пересечений с осью Oy. Производная функции: y' = \frac{1}{2} - \frac{2}{x²} Критические точки: y' = 0, когда \frac{1}{2} - \frac{2}{x²} = 0, \frac{x² - 4}{2x²} = 0, x² = 4, x = ±2. Интервалы возрастания и убывания: При x < -2, y' > 0, функция возрастает. При -2 < x < 0, y' < 0, функция убывает. При 0 < x < 2, y' < 0, функция убывает. При x > 2, y' > 0, функция возрастает. Вторая производная функции: y'' = \frac{4}{x³} Точки перегиба: Вторая производная не равна нулю. Интервалы выпуклости и вогнутости: При x < 0, y'' < 0, функция вогнута вниз. При x > 0, y'' > 0, функция выпукла вверх. Асимптоты: Вертикальная асимптота: x = 0, так как lim (x→0) (\frac{x}{2} + \frac{2}{x}) = ∞. Наклонная асимптота: y = \frac{x}{2}, так как lim (x→±∞) (y - \frac{x}{2}) = 0. На основе этих данных можно построить график функции. Ответ: Исследование функции проведено.