958. Как относятся длины математических маятников, если за одно и то же время один из них совершает 10, а второй 30 колебаний?

Решение:

1. Пусть \( T \) — время, за которое совершаются колебания.
2. Пусть \( N_1 = 10 \) — количество колебаний первого маятника, \( N_2 = 30 \) — количество колебаний второго маятника.
3. Период колебаний первого маятника: \( T_1 = \frac{T}{N_1} = \frac{T}{10} \).
4. Период колебаний второго маятника: \( T_2 = \frac{T}{N_2} = \frac{T}{30} \).
5. Формула периода колебаний математического маятника: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \]
6. Из этого следует, что период колебаний пропорционален квадратному корню из длины: \( T \sim \sqrt{L} \) или \( L \sim T^2 \).
7. Отношение периодов: \[ \frac{T_1}{T_2} = \frac{T/10}{T/30} = \frac{30}{10} = 3 \]
8. Значит, \( T_1 = 3 T_2 \).
9. Отношение длин: \[ \frac{L_1}{L_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^2 = 3^2 = 9 \]
10. Следовательно, \( L_1 = 9 L_2 \).

Ответ: Длины математических маятников относятся как 9:1, то есть \( L_1 = 9 L_2 \).