950. Амплитуда колебаний конца ножки камертона 1 мм, а частота колебаний 500 Гц. Написать уравнения x(t), vx(t) и ax(t). Каковы наибольшие значения скорости и ускорения? В каких положениях достигаются эти значения?

Решение:

1. Амплитуда колебаний \( A = 1 \) мм = \( 10^{-3} \) м.
2. Частота \( \nu = 500 \) Гц.
3. Найдём циклическую частоту: \[ \omega = 2\pi \nu = 2\pi \cdot 500 = 1000\pi \text{ рад/с} \]
4. Уравнение колебаний: \[ x(t) = A \cos (\omega t) = 10^{-3} \cos (1000\pi t) \text{ м} \]
5. Уравнение скорости: \[ v_x(t) = x'(t) = (10^{-3} \cos (1000\pi t))' = -10^{-3} \sin (1000\pi t) \cdot 1000\pi = -\pi \sin (1000\pi t) \text{ м/с} \]
6. Уравнение ускорения: \[ a_x(t) = v_x'(t) = (-\pi \sin (1000\pi t))' = -\pi \cos (1000\pi t) \cdot 1000\pi = -1000\pi^2 \cos (1000\pi t) \text{ м/с}^2 \]
7. Наибольшее значение скорости (амплитуда скорости): \[ |v_{max}| = A \omega = 10^{-3} \text{ м} \cdot 1000\pi \text{ рад/с} = \pi \text{ м/с} \]
8. Наибольшее значение ускорения (амплитуда ускорения): \[ |a_{max}| = A \omega^2 = 10^{-3} \text{ м} \cdot (1000\pi)^2 \text{ (рад/с)}^2 = 10^{-3} \cdot 10^6 \pi^2 = 1000\pi^2 \text{ м/с}^2 \]
9. Наибольшая скорость достигается в положении равновесия \( x = 0 \), когда \( \cos (1000\pi t) = 0 \), то есть \( 1000\pi t = \frac{\pi}{2} + \pi n \).
10. Наибольшее ускорение достигается в крайних положениях \( x = \pm A \), когда \( \cos (1000\pi t) = \pm 1 \), то есть \( 1000\pi t = \pi n \).

Ответ: \( x(t) = 10^{-3} \cos (1000\pi t) \) м; \( v_x(t) = -\pi \sin (1000\pi t) \) м/с; \( a_x(t) = -1000\pi^2 \cos (1000\pi t) \) м/с². Наибольшая скорость: \( \pi \) м/с (в положении равновесия); наибольшее ускорение: \( 1000\pi^2 \) м/с² (в крайних положениях).