949. Колебательное движение точки описывается уравнением x = 0,05 cos 20πt. Вычислив первую и вторую производные, написать уравнения зависимости скорости и ускорения от времени: vx(t) и ax(t). Найти координату, скорость и ускорение спустя 1/60 с после момента t=0.

Решение:

1. Находим первую производную (скорость): \[ v_x(t) = x'(t) = (0,05 \cos 20\pi t)' = 0,05 \cdot (- \sin 20\pi t) \cdot 20\pi = - \pi \sin 20\pi t \]
2. Находим вторую производную (ускорение): \[ a_x(t) = v_x'(t) = (-\pi \sin 20\pi t)' = -\pi \cos 20\pi t \cdot 20\pi = -20\pi^2 \cos 20\pi t \]
3. Находим координату, скорость и ускорение в момент времени \( t = \frac{1}{60} \) с:
• Координата: \[ x(\frac{1}{60}) = 0,05 \cos (20\pi \cdot \frac{1}{60}) = 0,05 \cos (\frac{\pi}{3}) = 0,05 \cdot \frac{1}{2} = 0,025 \text{ м} \]
• Скорость: \[ v_x(\frac{1}{60}) = -\pi \sin (20\pi \cdot \frac{1}{60}) = -\pi \sin (\frac{\pi}{3}) = -\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi\sqrt{3}}{2} \text{ м/с} \]
• Ускорение: \[ a_x(\frac{1}{60}) = -20\pi^2 \cos (20\pi \cdot \frac{1}{60}) = -20\pi^2 \cos (\frac{\pi}{3}) = -20\pi^2 \cdot \frac{1}{2} = -10\pi^2 \text{ м/с}^2 \]

Ответ: Скорость: \( v_x(t) = -\pi \sin 20\pi t \); Ускорение: \( a_x(t) = -20\pi^2 \cos 20\pi t \); Координата в \( t = \frac{1}{60} \) с: 0,025 м; Скорость в \( t = \frac{1}{60} \) с: \( -\frac{\pi\sqrt{3}}{2} \) м/с; Ускорение в \( t = \frac{1}{60} \) с: \( -10\pi^2 \) м/с².