9. Задача на тему «Признаки параллельности двух прямых». Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Доказать, что прямые АС и BD параллельны

Дано:

• Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая является их серединой (AO = OB, CO = OD).

Доказать:

• AC || BD

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники △AOC и △BOD.
2. AO = OB (по условию, O - середина AB).
3. CO = OD (по условию, O - середина CD).
4. ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные углы).
5. По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), △AOC = △BOD.
6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠CAO = ∠DBO.
7. Углы ∠CAO и ∠DBO являются накрест лежащими углами при пересечении прямых AC и BD секущей AB.
8. Так как накрест лежащие углы равны, то прямые AC и BD параллельны.

Что и требовалось доказать.