21. Задача на тему «Признаки равенства треугольников». В треугольниках АВС и МКЕ отрезки СО и ЕН медианы, ВС=КЕ, угол В равен углу К и угол C равен углу Е. Доказать, что треугольник АСО равен треугольнику МЕН.

Дано:

• △ABC и △MKE.
• CO - медиана △ABC (O - середина AB).
• EH - медиана △MKE (H - середина MK).
• BC = KE.
• ∠B = ∠K.
• ∠C = ∠E.

Доказать:

• △ACO = △MEH.

Доказательство:

1. Рассмотрим △ABC и △MKE.
2. ∠B = ∠K (по условию).
3. ∠C = ∠E (по условию).
4. Следовательно, третий углы также равны: ∠A = ∠M.
5. BC = KE (по условию).
6. По двум углам и стороне между ними (II признак равенства треугольников), △ABC = △MKE.
7. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:
• AB = MK.
• AC = ME.
8. Так как CO - медиана, то O - середина AB, значит AO = OB = 1/2 AB.
9. Так как EH - медиана, то H - середина MK, значит MH = HK = 1/2 MK.
10. Поскольку AB = MK, то 1/2 AB = 1/2 MK, следовательно AO = MH.
11. Теперь рассмотрим △ACO и △MEH.
• AC = ME (доказано ранее).
• AO = MH (доказано ранее).
• ∠A = ∠M (доказано ранее).
12. По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), △ACO = △MEH.

Что и требовалось доказать.