12. Задача на тему «Свойства равнобедренного треугольника». Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный

Дано:

• В △ABC проведена биссектриса BD.
• BD является также высотой △ABC.

Доказать:

• △ABC - равнобедренный.

Доказательство:

1. По условию BD - биссектриса, значит, она делит угол ∠ABC пополам: ∠ABD = ∠CBD.
2. По условию BD - высота, значит, она перпендикулярна стороне AC: ∠BDA = ∠BDC = 90°.
3. Рассмотрим △ABD и △CBD:
• ∠ABD = ∠CBD (по условию, BD - биссектриса).
• BD - общая сторона.
• ∠BDA = ∠BDC = 90° (по условию, BD - высота).
4. По двум углам и прилежащей стороне (II признак равенства треугольников), △ABD = △CBD.
5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB = BC.
6. По определению, если две стороны треугольника равны, то этот треугольник является равнобедренным.
7. Значит, △ABC - равнобедренный.

Что и требовалось доказать.