14. Задача на тему «Свойства прямоугольных треугольников». Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найти гипотенузу треугольника.

Дано:

• △ABC - прямоугольный (∠C = 90°).
• Один из углов равен 60°. Пусть ∠A = 60°, тогда ∠B = 30°.
• Гипотенуза c + меньший катет b = 26.4 см.

Найти:

• Гипотенузу c.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике с углами 30°, 60°, 90° катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. В нашем случае это катет b.
2. \[ b = \frac{1}{2}c \]
3. По условию задачи:
4. \[ c + b = 26.4 \]
5. Подставим выражение для b в уравнение:
6. \[ c + \frac{1}{2}c = 26.4 \]
7. \[ \frac{3}{2}c = 26.4 \]
8. \[ c = 26.4 \times \frac{2}{3} \]
9. \[ c = \frac{52.8}{3} \]
10. \[ c = 17.6 \]
11. Значит, гипотенуза равна 17.6 см.
12. Найдем катет b:
13. \[ b = \frac{1}{2}c = \frac{1}{2} \times 17.6 = 8.8 \]
14. Проверка:
15. \[ c + b = 17.6 + 8.8 = 26.4 \]

Ответ: Гипотенуза треугольника равна 17.6 см.