16. Задача на тему «Расстояние от точки до прямой». Через середину отрезка проведена прямая. Доказать, что концы отрезка равноудалены от этой прямой.

Дано:

• Отрезок AB.
• Точка O - середина отрезка AB.
• Прямая l проходит через точку O.

Доказать:

• Расстояние от A до прямой l равно расстоянию от B до прямой l.

Доказательство:

Рассмотрим два случая:

1. Случай 1: Прямая l проходит через отрезок AB.
2. В этом случае расстояние от точек A и B до прямой l равно 0, так как они лежат на этой прямой. Следовательно, они равноудалены.

2. Случай 2: Прямая l не проходит через отрезок AB.
3. Проведем перпендикуляры из точек A и B к прямой l. Пусть эти перпендикуляры пересекают прямую l в точках A' и B' соответственно.
4. По определению, AA' и BB' - расстояния от точек A и B до прямой l.
5. Рассмотрим △AOA' и △BOB':
• AO = OB (по условию, O - середина AB).
• ∠AOA' = ∠BOB' (как вертикальные углы).
• ∠AA'O = ∠BB'O = 90° (по построению, AA' и BB' - перпендикуляры).
6. По двум углам и прилежащей стороне (II признак равенства треугольников), △AOA' = △BOB'.
7. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AA' = BB'.
8. Следовательно, расстояние от точки A до прямой l равно расстоянию от точки B до прямой l.

Что и требовалось доказать.