9. В ящике 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик извлекает 3 детали. Найдите вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

Решение:

Общее количество деталей в ящике: \( N = 15 \).

Количество окрашенных деталей: \( K = 10 \).

Количество неокрашенных деталей: \( N - K = 15 - 10 = 5 \).

Сборщик извлекает 3 детали. Нам нужно найти вероятность того, что все 3 извлеченные детали окажутся окрашенными.

Способ 1: Через последовательные события

Вероятность того, что первая вынутая деталь окрашена:

\( P(1-я окрашенная) = \frac{10}{15} \)

После того, как вынута одна окрашенная деталь, в ящике осталось:

• Общее число деталей: \( 15 - 1 = 14 \)
• Число окрашенных деталей: \( 10 - 1 = 9 \)

Вероятность того, что вторая вынутая деталь также окрашена:

\( P(2-я окрашенная | 1-я окрашенная) = \frac{9}{14} \)

После того, как вынуты две окрашенные детали, в ящике осталось:

• Общее число деталей: \( 14 - 1 = 13 \)
• Число окрашенных деталей: \( 9 - 1 = 8 \)

Вероятность того, что третья вынутая деталь также окрашена:

\( P(3-я окрашенная | 1-я и 2-я окрашенные) = \frac{8}{13} \)

Вероятность того, что все три детали окажутся окрашенными:

\( P(\text{все 3 окрашенные}) = \frac{10}{15} \cdot \frac{9}{14} \cdot \frac{8}{13} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{14} \cdot \frac{8}{13} = \frac{18}{42} \cdot \frac{8}{13} = \frac{3}{7} \cdot \frac{8}{13} = \frac{24}{91} \)

Способ 2: Через сочетания

Общее число способов выбрать 3 детали из 15:

\( C_{15}^3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3!12!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 5 \cdot 7 \cdot 13 = 455 \)

Число способов выбрать 3 окрашенные детали из 10:

\( C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120 \)

Вероятность того, что все три детали окажутся окрашенными:

\( P(\text{все 3 окрашенные}) = \frac{\text{число способов выбрать 3 окрашенные}}{\text{общее число способов выбрать 3 детали}} = \frac{C_{10}^3}{C_{15}^3} = \frac{120}{455} \)

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

\( \frac{120 \div 5}{455 \div 5} = \frac{24}{91} \)

Ответ: Вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными, равна \(\frac{24}{91}\).