10. Что такое шар (шаровая поверхность или сфера)? Что такое радиус шара, диаметр шара? Какие точки шара называются диаметрально противоположными? Из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметру основания, выточен наибольший шар. Сколько процентов материала сточено?

Решение:

Шар (шаровая поверхность или сфера) — это геометрическое тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от данной точки (центра шара).

Радиус шара (R) — это расстояние от центра шара до любой точки на его поверхности.

Диаметр шара (D) — это отрезок, соединяющий две диаметрально противоположные точки шара и проходящий через его центр. Его длина равна удвоенному радиусу: \( D = 2R \).

Диаметрально противоположные точки шара — это две точки на поверхности шара, которые лежат на одном диаметре и находятся на противоположных концах этого диаметра.

Для расчета процента сточенного материала:

Условие: из цилиндра, высота которого равна диаметру основания, выточен наибольший шар.

Пусть радиус основания цилиндра равен \( r \). Тогда:

• Высота цилиндра \( H = 2r \) (так как равна диаметру основания).
• Диаметр основания цилиндра \( D_{цилиндра} = 2r \).

Наибольший шар, который можно выточить из такого цилиндра, будет иметь радиус \( R_{шара} = r \) (радиус основания цилиндра) и диаметр \( D_{шара} = 2r \) (который равен высоте цилиндра).

Объем цилиндра (V_{цилиндра}):

\( V_{цилиндра} = \pi \cdot r^2 \cdot H = \pi \cdot r^2 \cdot (2r) = 2\pi r^3 \)

Объем шара (V_шара):

\( V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R_{шара}^3 = \frac{4}{3} \pi r^3 \)

Сточен материал, равный разнице объемов:

\( V_{сточено} = V_{цилиндра} - V_{шара} = 2\pi r^3 - \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{6\pi r^3 - 4\pi r^3}{3} = \frac{2}{3} \pi r^3 \)

Процент сточенного материала:

\( \text{Процент} = \frac{V_{сточено}}{V_{цилиндра}} \cdot 100\% \)

\( \text{Процент} = \frac{\frac{2}{3} \pi r^3}{2\pi r^3} \cdot 100\% \)

\( \text{Процент} = \frac{1}{3} \cdot 100\% \approx 33,33\% \)

Ответ: Сточено примерно 33,33% материала.