10. В школьном хоре 7 девочек и 4 мальчика. Сколькими способами из состава хора можно выбрать для участия в районном смотре 5 девочек и 2 мальчиков?

Решение:

Эта задача решается в два этапа, так как нам нужно выбрать девочек и мальчиков отдельно, а затем перемножить количество способов.

1. Выбор девочек:

У нас есть 7 девочек, и нужно выбрать 5. Порядок выбора не важен, поэтому используем сочетания:

\( C_7^5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \) способ.

2. Выбор мальчиков:

У нас есть 4 мальчика, и нужно выбрать 2. Порядок выбора не важен, поэтому используем сочетания:

\( C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6 \) способов.

Общее количество способов выбрать команду из 5 девочек и 2 мальчиков находится по правилу умножения:

\( \text{Общее число способов} = C_7^5 \cdot C_4^2 = 21 \cdot 6 = 126 \)

Ответ: Выбрать команду можно 126 способами.