№9. В треугольнике АВС АС = BC, AB = 24, cosA = \(\frac{4\sqrt{41}}{41}\). Найдите высоту СН.

Решение:

Треугольник \( ABC \) — равнобедренный, так как \( AC = BC \). Высота \( CH \) в равнобедренном треугольнике, опущенная на основание \( AB \), является также медианой и биссектрисой. Значит, \( AH = HB = \frac{AB}{2} \).

1. Найдем длину \( AH \): \[ AH = \frac{24}{2} = 12 \]
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ACH \). Нам известно \( AC \) (гипотенуза) и \( cosA \). Мы можем найти \( AH \) с помощью \( cosA = \frac{AH}{AC} \), но нам нужно найти \( CH \).
3. Сначала найдем \( AC \) используя \( cosA \). Поскольку \( cosA = \frac{4\sqrt{41}}{41} \) и \( cosA = \frac{AH}{AC} \), то \( AC = \frac{AH}{cosA} \). \[ AC = \frac{12}{\frac{4\sqrt{41}}{41}} = \frac{12 \cdot 41}{4\sqrt{41}} = \frac{3 \cdot 41}{\sqrt{41}} = 3\sqrt{41} \]
4. Теперь найдем высоту \( CH \) в прямоугольном треугольнике \( ACH \) по теореме Пифагора: \( CH^2 + AH^2 = AC^2 \).
5. \( CH^2 + 12^2 = (3\sqrt{41})^2 \)
6. \( CH^2 + 144 = 9 \cdot 41 \)
7. \( CH^2 + 144 = 369 \)
8. \( CH^2 = 369 - 144 \)
9. \( CH^2 = 225 \)
10. \( CH = \sqrt{225} \)
11. \( CH = 15 \)

Ответ: \( 15 \).