№4. Закон прямолинейного движения тела задан уравнением S(t) = \( \frac{1}{3}t^3 + 4t^2 + 5 \). Найдите скорость и ускорение в момент времени t=3c, если S – путь (м), t – время (с).

Решение:

Скорость \( v(t) \) — это первая производная от пути по времени, а ускорение \( a(t) \) — вторая производная (или первая производная от скорости).

1. Найдем скорость, продифференцировав \( S(t) \) по \( t \): \[ v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{3}t^3 + 4t^2 + 5\right) = \frac{1}{3} \cdot 3t^2 + 4 \cdot 2t + 0 = t^2 + 8t \]
2. Найдем ускорение, продифференцировав \( v(t) \) по \( t \): \[ a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(t^2 + 8t) = 2t + 8 \]
3. Подставим \( t = 3 \) с в формулы скорости и ускорения:
   • Скорость: \[ v(3) = 3^2 + 8 \cdot 3 = 9 + 24 = 33 \] м/с
   • Ускорение: \[ a(3) = 2 \cdot 3 + 8 = 6 + 8 = 14 \] м/с²

Ответ: скорость \( 33 \) м/с, ускорение \( 14 \) м/с².