№7. Решите неравенство: (\(\frac{1}{16}\))³ˣ⁻² ≥ (\(\frac{1}{4}\))ˣ⁺²

Решение:

Чтобы решить неравенство, приведем обе части к одному основанию степени. Основание \( \frac{1}{4} \) можно представить как \( (\frac{1}{16})^{\frac{1}{2}} \) или \( 4^{-1} \), а \( \frac{1}{16} \) как \( 4^{-2} \).

1. Приведем обе части к основанию 4:
   • Левая часть: \( \left(\frac{1}{16}\right)^{3x-2} = \left(4^{-2}\right)^{3x-2} = 4^{-2(3x-2)} = 4^{-6x+4} \)
   • Правая часть: \( \left(\frac{1}{4}\right)^{x+2} = \left(4^{-1}\right)^{x+2} = 4^{-1(x+2)} = 4^{-x-2} \)
2. Теперь неравенство выглядит так: \( 4^{-6x+4} \geq 4^{-x-2} \).
3. Так как основание степени \( 4 > 1 \), при сравнении степеней знак неравенства сохраняется: \[ -6x + 4 \geq -x - 2 \]
4. Решим полученное линейное неравенство:
   • Перенесем члены с \( x \) в одну сторону, а константы — в другую: \( -6x + x \geq -2 - 4 \)
   • \( -5x \geq -6 \)
   • Разделим обе части на \( -5 \), при этом знак неравенства меняется на противоположный: \( x \leq \frac{-6}{-5} \)
   • \( x \leq \frac{6}{5} \)
   • \( x \leq 1.2 \)

Ответ: \( x \leq 1.2 \).