№10. Решите уравнение: \(\frac{1}{\cos^2x} - \frac{3}{\cos x} + 2 = 0\)

Решение:

Это дробно-рациональное уравнение. Сделаем замену переменной, чтобы привести его к квадратному уравнению.

1. Пусть \( y = \frac{1}{\cos x} \). Тогда уравнение примет вид: \[ y^2 - 3y + 2 = 0 \]
2. Решим квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта: \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \).
3. Корни квадратного уравнения:
   • \( y_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3+1}{2} = 2 \)
   • \( y_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3-1}{2} = 1 \)
4. Теперь вернемся к замене \( y = \frac{1}{\cos x} \) и решим два уравнения:
   • Случай 1: \( \frac{1}{\cos x} = 2 \)
   • \( \cos x = \frac{1}{2} \)
   • Известно, что \( \cos x = \frac{1}{2} \) при \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.
5. Случай 2: \( \frac{1}{\cos x} = 1 \)
6. \( \cos x = 1 \)
7. Известно, что \( \cos x = 1 \) при \( x = 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \) или \( x = 2\pi k \), где \( n \) и \( k \) — целые числа.