9. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона соответственно равны 6 и 20см. Найдите биссектрису угла при основании треугольника.

Решение:

Пусть данный равнобедренный треугольник — \(ABC\), где \(AB = AC = 20\) см, а основание \(BC = 6\) см.

Пусть \(BD\) — биссектриса угла \(B\) при основании. По свойству биссектрисы треугольника, она делит противоположную сторону \(AC\) на отрезки \(AD\) и \(DC\) пропорционально прилежащим сторонам.

\(\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}\)

Так как \(AD + DC = AC = 20\) см, то:

\(AD = \frac{10}{10+3} \cdot AC = \frac{10}{13} \cdot 20 = \frac{200}{13}\) см.

\(DC = \frac{3}{10+3} \cdot AC = \frac{3}{13} \cdot 20 = \frac{60}{13}\) см.

Теперь рассмотрим треугольник \(BDC\). По теореме косинусов для треугольника \(ABC\) найдём косинус угла \(C\):

\(AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 · AC · BC · \cos C\)

\(20^2 = 20^2 + 6^2 - 2 · 20 · 6 · \cos C\)

\(400 = 400 + 36 - 240 · \cos C\)

\(0 = 36 - 240 · \cos C\)

\(240 \u00B7 \cos C = 36\)

\(\cos C = \frac{36}{240} = \frac{3}{20}\)

Теперь применим теорему косинусов для треугольника \(BDC\) к стороне \(BD\):

\(BD^2 = BC^2 + DC^2 - 2 · BC · DC · \cos C\)

\(BD^2 = 6^2 + \left(\frac{60}{13}\right)^2 - 2 · 6 · \frac{60}{13} · \frac{3}{20}\)

\(BD^2 = 36 + \frac{3600}{169} - \frac{12 · 60 · 3}{13 · 20}\)

\(BD^2 = 36 + \frac{3600}{169} - \frac{2160}{260}\)

\(BD^2 = 36 + \frac{3600}{169} - \frac{108}{13}\)

Приведём к общему знаменателю 169:

\(BD^2 = \frac{36 · 169}{169} + \frac{3600}{169} - \frac{108 · 13}{169}\)

\(36 · 169 = 6084\)

\(108 · 13 = 1404\)

\(BD^2 = \frac{6084 + 3600 - 1404}{169} = \frac{8280}{169}\)

\[ BD = \sqrt{\frac{8280}{169}} = \frac{\sqrt{8280}}{13} = \frac{\sqrt{36 · 230}}{13} = \frac{6\sqrt{230}}{13} \] см.

Ответ: \(\frac{6\sqrt{230}}{13}\) см.