4. Упростите выражение \(\frac{\text{tg}^2 a}{1+\text{tg}^2 a} \cdot \frac{1+\text{ctg}^2 a}{\text{ctg}^2 a} - \text{tg}^2 a\)

Решение:

Воспользуемся основными тригонометрическими тождествами:

\(1 + \text{tg}^2 a = \frac{1}{\cos^2 a}\)

\(1 + \text{ctg}^2 a = \frac{1}{\sin^2 a}\)

\(\text{ctg} a = \frac{1}{\text{tg} a}\)

Подставим эти тождества в выражение:

\(\frac{\text{tg}^2 a}{\frac{1}{\cos^2 a}} \cdot \frac{\frac{1}{\sin^2 a}}{\frac{1}{\text{tg}^2 a}} - \text{tg}^2 a\)

\(\text{tg}^2 a \cdot \cos^2 a \cdot \frac{\text{tg}^2 a}{\sin^2 a} - \text{tg}^2 a\)

Вспомним, что \(\text{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a}\), значит \(\text{tg}^2 a \cdot \cos^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \cdot \cos^2 a = \sin^2 a\).

\(\sin^2 a \cdot \frac{\text{tg}^2 a}{\sin^2 a} - \text{tg}^2 a\)

Сократим \(\sin^2 a\):

\(\text{tg}^2 a - \text{tg}^2 a = 0\)

Ответ: 0