6. Вычислите \(f'\left(\frac{\pi}{6}\right)\), если \(f(x) = 2\text{ctg}\left(5x - \frac{\pi}{3}\right)\)

Решение:

Сначала найдём производную функции \(f(x)\).

Производная \(\text{ctg}(u)\) равна \(-\frac{1}{\sin^2 u}\).

Производная \(5x - \frac{\pi}{3}\) по \(x\) равна 5.

\(f'(x) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 \left(5x - \frac{\pi}{3}\right)}\right) \cdot 5\)

\(f'(x) = -\frac{10}{\sin^2 \left(5x - \frac{\pi}{3}\right)}\)

Теперь вычислим значение производной при \(x = \frac{\pi}{6}\):

\(5x - \frac{\pi}{3} = 5\left(\frac{\pi}{6}\right) - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}\)

\(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\)

\(f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{10}{\sin^2 \left(\frac{\pi}{2}\right)} = -\frac{10}{1^2} = -10\)

Ответ: -10