5. Решите уравнение \(-3\sin^2 x - 2\sin x \cos x + 5\cos^2 x = 2\)

Решение:

Перепишем уравнение, используя \(2 = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)\):

\(-3\sin^2 x - 2\sin x \cos x + 5\cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)\)

\(-3\sin^2 x - 2\sin x \cos x + 5\cos^2 x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x\)

Перенесём все члены в одну сторону:

\(-3\sin^2 x - 2\sin^2 x - 2\sin x \cos x + 5\cos^2 x - 2\cos^2 x = 0\)

\(-5\sin^2 x - 2\sin x \cos x + 3\cos^2 x = 0\)

Разделим обе части уравнения на \(\cos^2 x\) (предполагая, что \(\cos x \neq 0\). Если \(\cos x = 0\), то \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), и \(\sin x = \pm 1\), подставив в исходное уравнение, получим \(-3 = 2\) или \(3 = 2\), что неверно, значит \(\cos x \neq 0\)):

\(-5\text{tg}^2 x - 2\text{tg} x + 3 = 0\)

Сделаем замену \(t = \text{tg} x\):

\(-5t^2 - 2t + 3 = 0\)

\(5t^2 + 2t - 3 = 0\)

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(5)(-3) = 4 + 60 = 64 \]

Найдем корни \(t\):

\[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = 0.6 \]

\[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1 \]

Теперь вернёмся к замене \(t = \text{tg} x\):

1. \(\text{tg} x = 0.6 \implies x = \text{arctg}(0.6) + \pi k, k \in \mathbb{Z}\)

2. \(\text{tg} x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\)

Ответ: \(x = \text{arctg}(0.6) + \pi k\) или \(x = -\frac{\pi}{4} + \pi n\), где \(k, n \in \mathbb{Z}\)