9. Решите неравенство (методом интервалов) \(\frac{(3x-5)(5+x)}{x-4} \le 0\)

Решение:

Для решения неравенства методом интервалов необходимо найти корни числителя и знаменателя, а затем определить знаки выражений на интервалах.

1. Находим корни числителя:
   \( 3x - 5 = 0
   \implies x = \frac{5}{3} \)
   \( 5 + x = 0
   \implies x = -5 \)
2. Находим корень знаменателя:
   \( x - 4 = 0
   \implies x = 4 \)
3. Отмечаем корни на числовой прямой.
   Точки \( x = -5 \) и \( x = \frac{5}{3} \) являются решениями, так как неравенство нестрогое (\( \le \)). Точка \( x = 4 \) — полюс, знаменатель не может быть равен нулю, поэтому эта точка выкалывается.

Числовая прямая разбивается на интервалы: \( (-\infty; -5] \), \( [-5; \frac{5}{3}] \), \( [\frac{5}{3}; 4) \), \( (4; \infty) \). Определяем знак выражения на каждом интервале, например, подставляя тестовые значения:

• Интервал \( (-\infty; -5] \): Возьмём \( x = -6 \). \(\frac{(3(-6)-5)(5+(-6))}{(-6)-4} = \frac{(-18-5)(-1)}{-10} = \frac{(-23)(-1)}{-10} = \frac{23}{-10} < 0 \). Знак «-».
• Интервал \( [-5; \frac{5}{3}] \): Возьмём \( x = 0 \). \(\frac{(3(0)-5)(5+0)}{0-4} = \frac{(-5)(5)}{-4} = \frac{-25}{-4} = \frac{25}{4} > 0 \). Знак «+».
• Интервал \( [\frac{5}{3}; 4) \): Возьмём \( x = 2 \). \(\frac{(3(2)-5)(5+2)}{2-4} = \frac{(6-5)(7)}{-2} = \frac{(1)(7)}{-2} = \frac{7}{-2} < 0 \). Знак «-».
• Интервал \( (4; \infty) \): Возьмём \( x = 5 \). \(\frac{(3(5)-5)(5+5)}{5-4} = \frac{(15-5)(10)}{1} = \frac{(10)(10)}{1} = 100 > 0 \). Знак «+».

Нам нужно, чтобы выражение было \( \le 0 \). Это соответствует интервалам, где стоит знак «-».

Ответ: \( x \in (-\infty; -5] \cup [\frac{5}{3}; 4) \).