4. Решите уравнение 5 · 9ˣ + 9ˣ⁺² = 406

Решение:

Перепишем уравнение, используя свойства степеней \( a^{m+n} = a^m \cdot a^n \):

\( 5 \cdot 9^x + 9^x \cdot 9^2 = 406 \)

\( 5 \cdot 9^x + 9^x \cdot 81 = 406 \)

Вынесем \( 9^x \) за скобки:

\( 9^x (5 + 81) = 406 \)

\( 9^x (86) = 406 \)

Разделим обе части на 86:

\( 9^x = \frac{406}{86} \)

\( 9^x = \frac{203}{43} \)

Так как \( \frac{203}{43} \) не является целой степенью 9, для точного решения нужно использовать логарифмы:

\( x = \log_9 \left( \frac{203}{43} \right) \)

Ответ: \( x = \log_9 \left( \frac{203}{43} \right) \).