2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x², y = 0, x = 1, x = 3

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций \( y = f(x) \), \( y = g(x) \) и прямыми \( x = a \), \( x = b \), вычисляется с помощью определённого интеграла:

\( S = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx \)

В данном случае:

• Верхняя граница \( f(x) = x^2 \)
• Нижняя граница \( g(x) = 0 \)
• Левая граница \( a = 1 \)
• Правая граница \( b = 3 \)

Так как на отрезке \( [1; 3] \) функция \( x^2 \) неотрицательна ( \( x^2 \ge 0 \)), то \( |x^2 - 0| = x^2 \).

Вычисляем площадь:

\( S = \int_1^3 x^2 dx \)

Найдём первообразную для \( x^2 \): \( \frac{x^3}{3} \).

Вычислим определённый интеграл:

\( S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} \)

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{26}{3} \) квадратных единиц.