3. Найдите экстремумы функции f(x) = 4x³ - x² - 5x

Решение:

Чтобы найти экстремумы функции, нужно найти её производную, приравнять её к нулю, найти критические точки, а затем определить, являются ли они точками максимума или минимума.

1. Найдём производную функции:
   \( f'(x) = (4x^3 - x^2 - 5x)' = 12x^2 - 2x - 5 \)
2. Приравняем производную к нулю и найдём критические точки:
   \( 12x^2 - 2x - 5 = 0 \)
   Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \)
   \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-5) = 4 + 240 = 244 \)
   \( \sqrt{D} = \sqrt{244} = \sqrt{4 \cdot 61} = 2\sqrt{61} \)
   \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 2\sqrt{61}}{2 \cdot 12} = \frac{2(1 + \sqrt{61})}{24} = \frac{1 + \sqrt{61}}{12} \)
   \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 2\sqrt{61}}{2 \cdot 12} = \frac{2(1 - \sqrt{61})}{24} = \frac{1 - \sqrt{61}}{12} \)
3. Определим тип экстремума, используя вторую производную (или знак первой производной).
   Найдём вторую производную:
   \( f''(x) = (12x^2 - 2x - 5)' = 24x - 2 \)
   Проверим знаки второй производной в критических точках:
   \( x_1 = \frac{1 + \sqrt{61}}{12} \): \( f''(x_1) = 24 \cdot \frac{1 + \sqrt{61}}{12} - 2 = 2(1 + \sqrt{61}) - 2 = 2 + 2\sqrt{61} - 2 = 2\sqrt{61} > 0 \). Следовательно, \( x_1 \) — точка минимума.
   \( x_2 = \frac{1 - \sqrt{61}}{12} \): \( f''(x_2) = 24 \cdot \frac{1 - \sqrt{61}}{12} - 2 = 2(1 - \sqrt{61}) - 2 = 2 - 2\sqrt{61} - 2 = -2\sqrt{61} < 0 \). Следовательно, \( x_2 \) — точка максимума.
4. Найдём значения функции в точках экстремума.
   Значения \( f(x_1) \) и \( f(x_2) \) будут громоздкими из-за \( \sqrt{61} \), поэтому обычно оставляют как точки экстремума.

Ответ: Точка минимума \( x = \frac{1 + \sqrt{61}}{12} \), точка максимума \( x = \frac{1 - \sqrt{61}}{12} \).