9. Объем куба равен 48. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной – центр куба.

Решение:

1. Связь объема куба и его ребра:

Объем куба \( V_{куба} \) вычисляется по формуле \( V_{куба} = a^3 \), где \( a \) — длина ребра куба.

Нам дан объем куба: \( V_{куба} = 48 \).

Значит, \( a^3 = 48 \).

2. Основание пирамиды:

Основанием пирамиды является грань куба. Грань куба — это квадрат со стороной \( a \). Площадь основания пирамиды \( S_{осн} \) равна площади грани куба:

\( S_{осн} = a^2 \).

3. Высота пирамиды:

Вершиной пирамиды является центр куба. Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины (центра куба) на плоскость основания (грани куба). Высота пирамиды равна половине ребра куба:

\( h_{пир} = \frac{a}{2} \).

4. Объем пирамиды:

Объем четырехугольной пирамиды вычисляется по формуле: \( V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h_{пир} \).

Подставим выражения для \( S_{осн} \) и \( h_{пир} \):

\( V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{a}{2} \).

\( V_{пир} = \frac{1}{6} \cdot a^3 \).

5. Вычисление объема пирамиды:

Мы знаем, что \( a^3 = 48 \) (это объем куба).

\( V_{пир} = \frac{1}{6} \cdot 48 \).

\( V_{пир} = 8 \).

Ответ: 8.