5. Найдите наибольшее значение функции y = -2x² + 8x - 7. на отрезке [0;5].

Решение:

Функция \( y = -2x^2 + 8x - 7 \) — это парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный). Наибольшее значение будет достигаться либо в вершине параболы, либо на границах отрезка.

1. Найдем координаты вершины параболы:

Абсцисса вершины \( x_в \) находится по формуле: \( x_в = -\frac{b}{2a} \), где \( a = -2 \) и \( b = 8 \).

\( x_в = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2 \).

Ордината вершины \( y_в \) равна значению функции в точке \( x_в \):

\( y_в = -2(2)^2 + 8(2) - 7 = -2(4) + 16 - 7 = -8 + 16 - 7 = 1 \).

Точка вершины (2, 1). Так как \( x_в = 2 \) находится внутри отрезка [0; 5], значение \( y=1 \) является возможным наибольшим значением.

2. Найдем значения функции на границах отрезка:

При \( x = 0 \): \( y = -2(0)^2 + 8(0) - 7 = -7 \).

При \( x = 5 \): \( y = -2(5)^2 + 8(5) - 7 = -2(25) + 40 - 7 = -50 + 40 - 7 = -10 - 7 = -17 \).

3. Сравним полученные значения:

Значения функции на отрезке [0; 5]: \( -7 \), \( 1 \) (в вершине), \( -17 \).

Наибольшее значение равно 1.

Ответ: 1.