6. У мамы 3 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 6 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

Решение:

Всего у мамы 3 яблока + 3 груши = 6 фруктов. В течение 6 дней она выдает по одному фрукту, то есть все фрукты будут выданы. Задача сводится к тому, сколькими способами можно расставить 3 яблока (обозначим 'Я') и 3 груши (обозначим 'Г') в последовательности из 6 дней.

Это задача на перестановку с повторениями. Общее число перестановок из \( n \) элементов, где есть \( k_1 \) одинаковых элементов первого типа, \( k_2 \) одинаковых элементов второго типа, ..., \( k_m \) одинаковых элементов m-го типа, вычисляется по формуле:

\( P = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot ... \cdot k_m!} \).

В нашем случае \( n = 6 \) (всего дней/фруктов), \( k_1 = 3 \) (количество яблок), \( k_2 = 3 \) (количество груш).

\( P = \frac{6!}{3! \cdot 3!} \).

Вычислим факториалы:

\( 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720 \).

\( 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \).

Подставим значения в формулу:

\( P = \frac{720}{6 \cdot 6} = \frac{720}{36} = 20 \).

Ответ: 20.