7. Решите уравнение: log₃ (x² + 72) = 4.

Решение:

Переведем логарифмическое уравнение в показательное:

\( x^2 + 72 = 3^4 \).

Вычислим \( 3^4 \):

\( 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81 \).

Уравнение примет вид:

\( x^2 + 72 = 81 \).

Вычтем 72 из обеих частей уравнения:

\( x^2 = 81 - 72 \).

\( x^2 = 9 \).

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

\( x = \pm \sqrt{9} \).

\( x = \pm 3 \).

Проверим условие существования логарифма: \( x^2 + 72 > 0 \).

Если \( x = 3 \), то \( 3^2 + 72 = 9 + 72 = 81 > 0 \).

Если \( x = -3 \), то \((-3)^2 + 72 = 9 + 72 = 81 > 0 \).

Оба корня подходят.

Ответ: x = 3, x = -3.