3. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 12, боковое ребро равно 10. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

Правильная четырехугольная пирамида имеет в основании квадрат. Площадь полной поверхности складывается из площади основания и площади боковой поверхности.

1. Площадь основания (S_осн):

Основание — квадрат со стороной \( a = 12 \).

\( S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144 \).

2. Площадь боковой поверхности (S_бок):

Боковая поверхность состоит из четырех равных треугольников. Нам нужно найти апофему (высоту боковой грани).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой \( h_a \), половиной стороны основания \( \frac{a}{2} \) и боковым ребром \( l \).

\( \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6 \).

По теореме Пифагора: \( l^2 = h_a^2 + (\frac{a}{2})^2 \).

\( 10^2 = h_a^2 + 6^2 \).

\( 100 = h_a^2 + 36 \).

\( h_a^2 = 100 - 36 = 64 \).

\( h_a = \sqrt{64} = 8 \).

Площадь одного бокового треугольника: \( S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48 \).

Площадь всей боковой поверхности: \( S_{бок} = 4 \cdot S_{тр} = 4 \cdot 48 = 192 \).

3. Площадь полной поверхности (S_полн):

\( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 144 + 192 = 336 \).

Ответ: 336.