9. Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, проходящего через вершины А,В, С1, если АВ=2, AD=5, AA1=3.

Решение:

Сечение, проходящее через вершины А, В, С1, является параллелограммом. Основаниями этого параллелограмма являются отрезки AB и C1D1 (или A1B1 и CD).

По условию задачи:

• \( AB = 2 \) (длина ребра основания).
• \( AD = 5 \) (длина ребра основания).
• \( AA_1 = 3 \) (высота параллелепипеда).

В параллелепипеде \( ABCD A_1B_1C_1D_1 \) координаты вершин можно принять так:

• \( A = (0, 0, 0) \)
• \( B = (2, 0, 0) \)
• \( D = (0, 5, 0) \)
• \( C = (2, 5, 0) \)
• \( A_1 = (0, 0, 3) \)
• \( B_1 = (2, 0, 3) \)
• \( C_1 = (2, 5, 3) \)
• \( D_1 = (0, 5, 3) \)

Сечение проходит через точки \( A(0, 0, 0) \), \( B(2, 0, 0) \) и \( C_1(2, 5, 3) \). Третья вершина сечения — \( D_1(0, 5, 3) \) (так как \( AB \) параллельно \( C_1D_1 \) и \( AD_1 \) параллельно \( BC_1 \)).

Стороны параллелограмма сечения:

• \( AB = 2 \).
• \( BC_1 \) — диагональ грани \( BB_1C_1C \). \( BB_1 = AA_1 = 3 \), \( BC = AD = 5 \). \( BC_1 = \sqrt{BB_1^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \).

Чтобы найти площадь параллелограмма, нам нужен угол между сторонами \( AB \) и \( BC_1 \). Это сложнее, чем кажется.

Рассмотрим другое сечение, проходящее через \( A, B, C_1 \). Это сечение параллельно \( A_1B_1C_1D_1 \), а значит, оно параллелограмм \( ABC_1D_1 \).

Длина стороны \( AB = 2 \).

Длина стороны \( AD_1 \) — это диагональ грани \( ADD_1A_1 \). \( AD = 5 \), \( AA_1 = 3 \). \( AD_1 = \sqrt{AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \).

Однако, сечение через \( A, B, C_1 \) не является \( ABC_1D_1 \). Сечение через \( A, B, C_1 \) будет параллелограммом \( ABC_1X \) где \( X \) такая точка, что \( AX \) параллельна \( BC_1 \) и \( BX \) параллельна \( AC_1 \). Это неверное предположение.

Правильное сечение через \( A, B, C_1 \) — это параллелограмм \( ABC_1D_1 \). Но точки \( D_1 \) нет в условии. Сечение проходит через \( A, B, C_1 \). Третья точка сечения — \( D_1 \) из-за того, что \( AB \) параллельно \( D_1C_1 \) и \( AD_1 \) параллельно \( BC_1 \). Это значит, что сечение — это параллелограмм \( ABC_1D_1 \).

Вычислим площадь этого параллелограмма.

Сторона \( AB = 2 \).

Сторона \( AD_1 \) = \(\sqrt{AD^2 + DD_1^2}\) = \(\sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}\).

Вектор \( \vec{AB} = (2, 0, 0) \).

Вектор \( \vec{AD_1} = (0, 5, 3) \).

Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения \( \vec{AB} \times \vec{AD_1} \).

\( \vec{AB} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 3 - 0 \cdot 5) - \mathbf{j}(2 \cdot 3 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(2 \cdot 5 - 0 \cdot 0) = 0\mathbf{i} - 6\mathbf{j} + 10\mathbf{k} \).

Модуль этого вектора: \( | \vec{AB} \times \vec{AD_1} | = \sqrt{0^2 + (-6)^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} = 2\sqrt{34} \).

Ответ: $$2\sqrt{34}$$