12. Образующая конуса равна 9 см, диаметр основания равен 12 см. Найдите объем конуса.

Решение:

Объем конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} \pi R^2 h \), где \( R \) — радиус основания, \( h \) — высота конуса.

По условию:

• Образующая \( l = 9 \) см.
• Диаметр основания \( d = 12 \) см, значит, радиус основания \( R = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) см.

Найдём высоту конуса \( h \) по теореме Пифагора, так как образующая, радиус и высота образуют прямоугольный треугольник: \( l^2 = R^2 + h^2 \).

1. \( 9^2 = 6^2 + h^2 \)
2. \( 81 = 36 + h^2 \)
3. \( h^2 = 81 - 36 = 45 \)
4. \( h = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} \) см.
5. Теперь вычислим объем конуса: \( V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (6)^2 (3\sqrt{5}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 3\sqrt{5} \).
6. \( V = \pi \cdot 36 \cdot \sqrt{5} = 36\sqrt{5} \pi \) см³

Ответ: $$36\sqrt{5} \pi$$ см³