9. Материальная точка движется прямолинейно по закону s(t) = t³/3 - 3t² + 15t - 7 (время измеряется в секундах, расстояние — в метрах). В какой момент времени точка имеет наименьшую скорость? Найдите эту скорость.

Решение:

Скорость точки \( v(t) \) является первой производной от закона движения \( s(t) \) по времени \( t \).

\( v(t) = s'(t) \)

Найдем производную \( s(t) \):

\[ s'(t) = \frac{d}{dt} \left(\frac{t^3}{3} - 3t^2 + 15t - 7\right) \]

\[ s'(t) = \frac{3t^2}{3} - 3 \cdot 2t + 15 \]

\[ v(t) = t^2 - 6t + 15 \]

Чтобы найти момент времени, когда скорость наименьшая, нужно найти минимум функции \( v(t) \). Функция \( v(t) \) — это парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при \( t^2 \) равен 1, что больше 0). Минимум параболы достигается в её вершине.

Абсцисса вершины параболы \( t_v = \frac{-b}{2a} \), где \( a=1 \) и \( b=-6 \) — коэффициенты квадратного трёхчлена \( t^2 - 6t + 15 \).

\[ t_v = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \text{ секунды} \]

Итак, наименьшая скорость достигается в момент времени \( t = 3 \) секунды.

Теперь найдём значение этой наименьшей скорости, подставив \( t = 3 \) в формулу для \( v(t) \):

\[ v(3) = (3)^2 - 6 \cdot 3 + 15 \]

\[ v(3) = 9 - 18 + 15 \]

\[ v(3) = -9 + 15 \]

\[ v(3) = 6 \text{ м/с} \]

Ответ: Наименьшая скорость достигается в момент времени 3 секунды, и она равна 6 м/с.