6. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 12 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите объем пирамиды.

Решение:

Правильная треугольная пирамида имеет в основании равносторонний треугольник. Высота пирамиды, боковое ребро и радиус описанной окружности основания образуют прямоугольный треугольник.

1. Найдём радиус описанной окружности основания (R).

Для равностороннего треугольника сторона \( a = 12 \) см.

Радиус описанной окружности \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).

\[ R = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ см} \]

2. Найдём высоту пирамиды (h).

Боковое ребро \( l \) образует с плоскостью основания угол \( \alpha = 45° \). В прямоугольном треугольнике, образованном высотой \( h \), радиусом описанной окружности \( R \) и боковым ребром \( l \), тангенс угла \( \alpha \) равен отношению противолежащего катета (высоты) к прилежащему катету (радиусу):

\[ \text{tg}(\alpha) = \frac{h}{R} \]

\[ \text{tg}(45°) = \frac{h}{4\sqrt{3}} \]

Так как \( \text{tg}(45°) = 1 \), получаем:

\[ 1 = \frac{h}{4\sqrt{3}} \]

\[ h = 4\sqrt{3} \text{ см} \]

3. Найдём площадь основания (S).

Площадь равностороннего треугольника со стороной \( a \) равна \( S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).

\[ S = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{144 \sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

4. Найдём объем пирамиды (V).

Объем пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S \cdot h \).

\[ V = \frac{1}{3} \cdot (36\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{3}) \]

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) \]

\[ V = 12 \cdot 4 \cdot 3 \]

\[ V = 144 \text{ см}^3 \]

Ответ: 144 см³.