7. Решите уравнение 6 cos² x + 5 cos(π/2 - x) = 7.

Решение:

Используем тригонометрическое тождество: \( \text{cos}(\frac{\pi}{2} - x) = \text{sin}(x) \).

Также используем основное тригонометрическое тождество: \( \text{cos}^2(x) = 1 - \text{sin}^2(x) \).

Подставим эти тождества в уравнение:

\[ 6(1 - \text{sin}^2(x)) + 5 \text{sin}(x) = 7 \]

\[ 6 - 6\text{sin}^2(x) + 5 \text{sin}(x) = 7 \]

Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно \( \text{sin}(x) \):

\[ -6\text{sin}^2(x) + 5 \text{sin}(x) + 6 - 7 = 0 \]

\[ -6\text{sin}^2(x) + 5 \text{sin}(x) - 1 = 0 \]

Умножим на -1, чтобы коэффициент при \( \text{sin}^2(x) \) был положительным:

\[ 6\text{sin}^2(x) - 5 \text{sin}(x) + 1 = 0 \]

Пусть \( t = \text{sin}(x) \). Тогда получим квадратное уравнение:

\[ 6t^2 - 5t + 1 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 \]

Найдем корни \( t \):

\[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]

\[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]

Теперь вернёмся к замене \( t = \text{sin}(x) \):

Случай 1: \( \text{sin}(x) = \frac{1}{2} \)

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Случай 2: \( \text{sin}(x) = \frac{1}{3} \)

\[ x = \text{arcsin}\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n, \quad x = \pi - \text{arcsin}\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \text{arcsin}\left\(\frac{1}{3}\right\) + 2\(\pi\) n, \(\quad\) x = \(\pi\) - \(\text{arcsin}\)\(\left\)\(\frac{1}{3}\right\) + 2\(\pi\) n, \(\quad\) k, n \(\in\) \(\mathbb{Z}\).