9. (1балл) Решить уравнение: $$\sqrt{3x+4} = x$$

Решение:

1. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \( (\sqrt{3x+4})^2 = x^2 \) \( 3x+4 = x^2 \).
2. Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 3x - 4 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета, ищем два числа, произведение которых равно -4, а сумма равна 3. Эти числа -4 и 1.
4. \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 4 \).
5. Проверим полученные корни в исходном уравнении, так как при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни.
6. Для \( x = -1 \): \( \sqrt{3(-1)+4} = \sqrt{-3+4} = \sqrt{1} = 1 \). Справа: \( x = -1 \). \( 1 \neq -1 \), значит, \( x = -1 \) — посторонний корень.
7. Для \( x = 4 \): \( \sqrt{3(4)+4} = \sqrt{12+4} = \sqrt{16} = 4 \). Справа: \( x = 4 \). \( 4 = 4 \), значит, \( x = 4 \) — верный корень.
8. Также необходимо учесть, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( 3x+4 \ge 0 \Rightarrow 3x \ge -4 \Rightarrow x \ge -\frac{4}{3} \). И правая часть уравнения (значение корня) должна быть неотрицательной: \( x \ge 0 \). Оба условия выполняются для \( x = 4 \).

Ответ: \( x = 4 \).