3.(1балл) Решить уравнение: $$2^{4x-3} = 3^{2x}$$

Решение:

1. Для решения уравнения приравняем показатели степени, взяв логарифм от обеих частей уравнения. Логарифмируем по основанию 10: \( \lg(2^{4x-3}) = \lg(3^{2x}) \).
2. Используем свойство логарифма \( \lg(a^b) = b \lg(a) \): \( (4x-3)\lg(2) = 2x\lg(3) \).
3. Раскроем скобки: \( 4x\lg(2) - 3\lg(2) = 2x\lg(3) \).
4. Перенесем члены с \(x\) в одну сторону, а свободные члены — в другую: \( 4x\lg(2) - 2x\lg(3) = 3\lg(2) \).
5. Вынесем \( x \) за скобки: \( x(4\lg(2) - 2\lg(3)) = 3\lg(2) \).
6. Используем свойство \( b\lg(a) = \lg(a^b) \) и \( \lg(a) - \lg(b) = \lg(\frac{a}{b}) \): \( x(\lg(2^4) - \lg(3^2)) = \lg(2^3) \) \( x(\lg(16) - \lg(9)) = \lg(8) \) \( x\lg(\frac{16}{9}) = \lg(8) \).
7. Выразим \( x \): \( x = \frac{\lg(8)}{\lg(\frac{16}{9})} \).
8. Можно также использовать натуральный логарифм \( \ln \): \( x = \frac{\ln(8)}{\ln(\frac{16}{9})} \).

Ответ: \( x = \frac{\lg(8)}{\lg(\frac{16}{9})} \).