9.(1 балл) Найдите производную функции у = 1/3x^3 + 4x^2 - 2x + 1 в точке хо= 2.

Решение:

1. Находим производную функции \( y = \frac{1}{3}x^3 + 4x^2 - 2x + 1 \).

Используем правила дифференцирования:

• Производная \( c \cdot x^n \) равна \( c \cdot n \cdot x^{n-1} \).
• Производная \( x \) равна 1.
• Производная константы равна 0.

Находим производную каждого члена:

• \( (\frac{1}{3}x^3)' = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot x^{3-1} = x^2 \)
• \( (4x^2)' = 4 \cdot 2 \cdot x^{2-1} = 8x \)
• \( (-2x)' = -2 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = -2 \)
• \( (1)' = 0 \)

Таким образом, производная функции \( y' = x^2 + 8x - 2 \).

2. Находим значение производной в точке \( x_0 = 2 \):

\[ y'(2) = 2^2 + 8 \cdot 2 - 2 \]\[ y'(2) = 4 + 16 - 2 \]\[ y'(2) = 18 \]

Ответ: 18