8) В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке О. Площадь треугольника ABC равна 9; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.

Решение:

В правильной треугольной пирамиде точка пересечения медиан основания \( O \) является центром вписанной и описанной окружностей, а также центром правильного треугольника.

Площадь правильного треугольника \( S_{\triangle ABC} \) связана с длиной его стороны \( a \) формулой \( S_{\triangle ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \).

Найдём сторону основания \( a \) из данного условия \( S_{\triangle ABC} = 9 \):

\[ 9 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \]\[ a^2 = \frac{36}{\sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3} \]

Радиус описанной окружности \( R \) для правильного треугольника равен \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).

Вычислим \( R \):

\[ R = \frac{\sqrt{12\sqrt{3}}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{4\sqrt{3}} \]

Объём пирамиды \( V \) равен \( V = \frac{1}{3} S_{base} h \), где \( S_{base} \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды. В данном случае \( h = OS \).

Подставим известные значения:

\[ 6 = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot OS \]\[ 6 = 3 OS \]\[ OS = \frac{6}{3} = 2 \]

Ответ: 2